공통수학1나머지정리와 인수분해AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

조건이 있는 두 문자 항등식 빈칸

문제

다음은 $x + y = 1$ 을 만족시키는 모든 실수 $x$ , $y$ 에 대하여 등식 $ax ^{2} + bxy + cy ^{2} = 1$ 이 성립하도록 하는 상수 $a$ , $b$ , $c$ 를 구하는 과정이다.

$x + y = 1$ 에서 $y =$ (가) 이므로 이를 주어진 등식에 대입하면 $ax ^{2} + bx ( 1 - x ) + c ( 1 - x ) ^{2} = 1$ 좌변을 $x$ 에 대하여 정리하면 $( a - b + c ) x ^{2} + ( b - 2 c ) x + c = 1$ 이 등식은 $x$ 에 대한 항등식이므로 $a - b + c = 0$ , $b - 2 c = 0$ , $c = 1$ 따라서 $a =$ (나), $b =$ (다), $c = 1$

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 $f ( x )$ , (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ 라 할 때, $f ( 3 ) + p + q$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$x + y = 1$ 에서 $y = 1 - x$ 이므로 $f ( x ) = 1 - x$ $ax ^{2} + bx ( 1 - x ) + c ( 1 - x ) ^{2} = ax ^{2} + bx - bx ^{2} + c - 2 cx + cx ^{2} = ( a - b + c ) x ^{2} + ( b - 2 c ) x + c$ $x$ 에 대한 항등식이므로 $a - b + c = 0$ , $b - 2 c = 0$ , $c = 1$ $c = 1$ 에서 $b = 2$ , $a = b - c = 1$ 즉 $p = 1$ , $q = 2$ 이고 $f ( 3 ) = 1 - 3 = - 2$ 검산: $x ^{2} + 2 xy + y ^{2} = ( x + y ) ^{2} = 1$ 이므로 성립한다. 따라서 $f ( 3 ) + p + q = - 2 + 1 + 2 = 1$

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