조건으로 정의된 정수 수열

조건 (나)에서 $\left| a _{m} \right| = \left| a _{m+2} \right|$인 자연수 $m$의 최솟값이 $3$이므로 $\left| a _{3} \right| = \left| a _{5} \right|$ (ⅰ) $a _{3}$, $a _{5}$가 홀수일 때 $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$가 순서대로 홀수, 짝수, 홀수이므로 $a _{3} = \alpha$라 하면 $a _{3} = \alpha$, $a _{4} = \alpha - 3$, $\displaystyle a _{5} = \frac{{\alpha - 3}}{2}$ $\displaystyle \left| \alpha \right| = \left| \frac{\alpha - 3}{2} \right|$ $\therefore$ $\alpha = - 3$ 또는 $\alpha = 1$ (ⅱ) $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$가 모두 짝수일 때 $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$가 순서대로 짝수, 짝수, 짝수인 경우 $a _{3} = \alpha$라 하면 $a _{3} = \alpha$, $\displaystyle a _{4} = \frac{\alpha}{2}$, $\displaystyle a _{5} = \frac{\alpha}{4}$ $\displaystyle \left| \alpha \right| = \left| \frac{\alpha}{4} \right|$ $\therefore$ $\alpha = 0$ (ⅲ) $\alpha _{3}$, $a _{5}$가 짝수이고 $a _{4}$가 홀수일 때 $a _{3} = \alpha$라 하면 $a _{3} = \alpha$, $\displaystyle a _{4} = \frac{\alpha}{2}$, $\displaystyle a _{5} = \frac{\alpha}{2} - 3$ $\displaystyle \left| \alpha \right| = \left| \frac{\alpha}{2} - 3 \right|$ $\therefore$ $\alpha = - 6$ 또는 $\alpha = 2$ 이상에서 가능한 $a _{3}$의 값은 $- 6$, $- 3$, $0$, $1$, $2$ (ⅰ) $a _{3} = - 6$이면 $a _{2}$의 값은 $- 3$ 또는 $- 12$이다. $a _{2} = - 3$이면 $a _{1} = - 6$이어야 하므로 모순이다. $a _{2} = - 12$이면 가능한 $a _{1}$의 값은 $- 24$ 또는 $- 9$ (ⅱ) $a _{3} = - 3$이면 $a _{2} \ne 0$이므로 $a _{2} = - 6$이고 조건 (나)를 만족시키지 못한다. (ⅲ) $a _{3} = 2$이면 $a _{2} = 4$ 또는 $a _{2} = 5$이다. $a _{2} = 4$일 때 가능한 $a _{1}$의 값은 $7$ 또는 $8$ $a _{2} = 5$일 때 가능한 $a _{1}$의 값은 $10$ (ⅳ) $a _{3} = 1$이면 $a _{4} = - 2$이고 조건 (나)에 의해서 $a _{2} = 2$이므로 조건을 만족시키지 못한다. (ⅴ) $a _{3} = 0$일 때 조건 (나)에 의해서 $a _{2} \ne 0$이므로 $a _{2} = 3$ $a _{2} = 3$에서 $a _{1} = 6$ 이상에서 모든 $\left| a _{1} \right|$의 값은 $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $24$ 따라서 $\left| a _{1} \right|$의 값의 합은 $6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 24 = 64$