조건을 만족시키는 함수 개수

조건 (가)에 의하여 집합 $X$의 $\mathrm{6}$개의 원소 중에서 서로 다른 $\mathrm{4}$개의 원소를 선택하면 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값이 정해진다. 즉, $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 조건 (나)에 의하여 함수 $f$는 일대일대응이 아니다. (ⅰ) $f ( 5 )$의 값이 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값 중 하나의 값과 같을 때 $f ( 6 )$의 값은 집합 $X$의 $\mathrm{6}$개의 원소 중 임의의 값이 될 수 있으므로 $f ( 5 )$, $f ( 6 )$의 값을 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 24$ (ⅱ) $f ( 5 )$의 값이 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값과 다를 때 $f ( 6 )$의 값은 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 )$의 값 중 하나의 값이 되어야 하므로 $f ( 5 )$, $f ( 6 )$의 값을 선택하는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 10$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수의 개수는 $15 \times ( 24 + 10 ) = 510$ [다른 풀이] 조건 (가)에 의하여 집합 $X$의 $\mathrm{6}$개의 원소 중에서 서로 다른 $\mathrm{4}$개의 원소를 선택하면 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값이 정해진다. 즉, $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 조건 (나)에 의하여 함수 $f$는 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 )$, $f ( 6 )$ 중에서 적어도 두 개의 함숫값이 같아야 한다. $f ( 5 )$, $f ( 6 )$의 값으로 집합 $X$의 $\mathrm{6}$개의 원소 중 임의의 값을 선택하는 경우 중에서 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$의 값이 아닌 나머지 $\mathrm{2}$개의 원소를 각각 $f ( 5 )$, $f ( 6 )$의 값으로 선택하는 경우를 제외하여야 하므로 그 경우의 수는 $6 \times 6 - _{2} \mathrm{P} _{2} = 34$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $15 \times 34 = 510$