조건을 만족시키는 부분집합 개수

집합 $U$의 부분집합 $P$는 $P = \left\{ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 \right\}$ 조건 (가)에서 $n \left( X - P \right) = 1$, $n \left( X \cup P ^{C} \right) = 11$ 또는 $n \left( X - P \right) = 11$, $n \left( X \cup P ^{C} \right) = 1$이다. 이때, $\left( X - P \right) \subset X \subset \left( X \cup P ^{C} \right)$이므로 $n \left( X - P \right) \leq n \left( X \right) \leq n \left( X \cup P ^{C} \right)$이고 $n \left( X - P \right) = 1$, $n \left( X \cup P ^{C} \right) = 11$이다. $n \left( X - P \right) = 1$이므로 집합 $X$의 소수가 아닌 원소의 개수는 $1$이다. $n \left( P ^{C} \right) = n \left( U \right) - n \left( P \right) = 9$이고 $n \left( X \cup P ^{C} \right)$$= n \left( X \right) + n \left( P ^{C} \right) - n \left( X \cap P ^{C} \right)$ $= n \left( P ^{C} \right) + \left\{ n \left( X \right) - n \left( X - P \right) \right\}$ $= n \left( P ^{C} \right) + n \left( X \cap P \right)$ 이므로 $n \left( X \cap P \right) = 2$이다. 즉, 집합 $X$의 소수인 원소의 개수는 $2$이다. 따라서 집합 $X$는 $15$ 이하의 서로 다른 소수 $p _{1}$, $p _{2}$와 소수가 아닌 $15$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 $X = \left\{ p _{1} \right.$, $p _{2}$, $\left. k \right\}$로 나타낼 수 있다. 조건 (나)에서 $M = p _{1} \times p _{2} \times k$의 양의 약수의 개수가 $16 = 2 ^{4}$이므로, $p _{1}$, $p _{2}$가 아닌 서로 다른 소수 $p _{3}$, $p _{4}$에 대하여 $k = p _{3} \times p _{4}$ 또는 $k = \left( p _{1} \right) ^{2} \times p _{3}$ 또는 $k = \left( p _{3} \right) ^{3}$의 꼴이다. (ⅰ) $k = p _{3} \times p _{4}$의 꼴인 경우 $k \leq 15$이므로 $k = 2 \times 3$, $k = 2 \times 5$, $k = 2 \times 7$, $k = 3 \times 5$의 $4$가지 경우가 있다. 각각의 경우마다 $k$를 제외한 집합 $X$의 나머지 두 원소를 정하는 경우는 집합 $P$의 원소 중 $k$의 소인수가 아닌 $4$개의 원소 중에서 $2$개의 원소를 택하는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}}$가지가 있으므로, 구하는 경우의 수는 $4 \times \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 24$ (ⅱ) $k = \left( p _{1} \right) ^{2} \times p _{3}$의 꼴인 경우 $k \leq 15$이므로 $k = 2 ^{2} \times 3$의 $1$가지 경우가 있다. $k$를 제외한 집합 $X$의 나머지 두 원소를 정하는 경우는 집합 $P$의 원소 중 $2$와 $3$이 아닌 $4$개의 원소 중에서 $1$개의 원소를 택하는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}}$가지이므로 구하는 경우의 수는 $1 \times \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 4$ (ⅲ) $k = \left( p _{3} \right) ^{3}$의 꼴인 경우 $k \leq 15$이므로 $k = 2 ^{3}$의 $1$가지 경우가 있다. $k$를 제외한 집합 $X$의 나머지 두 원소를 정하는 경우는 집합 $P$의 원소 중 $2$가 아닌 $5$개의 원소 중에서 $2$개의 원소를 택하는 경우의 수는 $1 \times \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 10$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 부분집합 $X$의 개수는 $24 + 4 + 10 = 38$