조건을 만족하는 삼차함수

[출제의도] 미분계수의 정의와 연속성을 이용하여 함수 $f \left( x \right)$를 구할 수 있는가? 조건 (다)에서 $f \left( 0 \right) = \mathit{-} 3$이므로 두 상수 $a$, $b$에 대하여 함수 $f \left( x \right)$는 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx - 3$ 한편, 조건 (가)에서 $f \left( x \right) = f \left( 1 \right) + \left( x - 1 \right) f' \left( g \left( x \right) \right)$ 이므로 $x \neq 1$일 때, $f' \left( g \left( x \right) \right)$$\displaystyle = \frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}$ $\displaystyle = \frac{\left( x ^{3} + ax ^{2} + bx - 3 \right) - \left( a + b - 2 \right)}{x - 1}$ $\displaystyle = \frac{\left( x ^{3} - 1 \right) + a \left( x ^{2} - 1 \right) + b \left( x - 1 \right)}{x - 1}$ $= \left( x ^{2} + x + 1 \right) + a \left( x + 1 \right) + b$ $= x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + a + b + 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 함수 $g \left( x \right)$가 최솟값 $\displaystyle \frac{5}{2}$를 가지므로 이 값을 갖는 $x$의 값을 $\alpha$라 하자. 이때, $f' \left( x \right)$는 이차함수이고 ㉠의 우변의 이차함수의 그래프가 대칭이므로 $g \left( x \right)$도 $x = \alpha$에 대하여 대칭이어야 한다. 이때, 함수 $y = f' \left( g \left( x \right) \right)$의 그래프는 $x = \alpha$에 대하여 대칭이다. 한편, ㉠의 우변의 함수 $y = x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + a + b + 1$ 의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a + 1}{2}$에 대하여 대칭이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha = \mathit{-} \frac{a + 1}{2}$ 한편, ㉠의 식에 $x = \alpha$를 대입하면 $f' \left( g \left( \alpha \right) \right) = \alpha ^{2} + \left( a + 1 \right) \alpha + a + b + 1$ 이때, $\displaystyle g \left( \alpha \right) = \frac{5}{2}$이므로 대입하면 $\displaystyle f' \left( \frac{5}{2} \right) = \alpha ^{2} + \left( a + 1 \right) \alpha + a + b + 1$ 한편, $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 a x + b$이므로 $\displaystyle \frac{75}{4} + 5 a + b = \alpha ^{2} + \left( a + 1 \right) \alpha + a + b + 1$ 즉, $\displaystyle \frac{75}{4} + 5 a = \alpha ^{2} + \left( a + 1 \right) \alpha + a + 1$ 이때, $\displaystyle \alpha = \mathit{-} \frac{a + 1}{2}$를 대입하면 $\displaystyle \frac{75}{4} + 5 a = \frac{\left( a + 1 \right) ^{2}}{4} - \frac{\left( a + 1 \right) ^{2}}{2} + a + 1$ $\displaystyle \frac{75}{4} + 5 a = \mathit{-} \frac{\left( a + 1 \right) ^{2}}{4} + a + 1$ $75 + 20 a = \mathit{-} \left( a ^{2} + 2 a + 1 \right) + \left( 4 a + 4 \right)$ $a ^{2} + 18 a + 72 = 0$ $\left( a + 6 \right) \left( a + 12 \right) = 0$ $a = \mathit{-} 6$ 또는 $a = \mathit{-} 12$ 한편, $a = \mathit{-} 12$일 때, $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 24 x + b$ 이고 이 함수 $y = f' \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = 8$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = f' \left( g \left( x \right) \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

즉, 함수 $y = f' \left( g \left( x \right) \right)$의 그래프의 개형은 이차함수의 그래프의 개형이 아니다. 그러므로 $a = \mathit{-} 6$이고 $\displaystyle \alpha = \frac{5}{2}$ 이어야 한다. 그러므로 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + bx - 3$ $\cdots \cdots$ ㉡ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + b$ $\cdots \cdots$ ㉢ 한편, ㉠에서 $f' \left( x \right)$와 $g \left( x \right)$가 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {f' \left( g \left( x \right) \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}}$ $f' \left( g \left( 1 \right) \right) = f' \left( 1 \right)$ 이때, $g \left( 1 \right) = k$라 하면 ㉢으로부터 $3 k ^{2} - 12 k + b = \mathit{-} 9 + b$ $3 k ^{2} - 12 k + 9 = 0$ $k ^{2} - 4 k + 3 = 0$ $\left( k - 1 \right) \left( k - 3 \right) = 0$ $k = 1$ 또는 $k = 3$ 즉, $g \left( 1 \right) = 1$ 또는 $g \left( 1 \right) = 3$ 이때, $g \left( 1 \right) = 1$은 $g \left( x \right)$가 최솟값 $\displaystyle \frac{5}{2}$를 갖는다는 것에 모순이다. 그러므로 $g \left( 1 \right) = 3$ 한편, 조건 (다)에서 $f \left( g \left( 1 \right) \right) = 6$이므로 $f \left( 3 \right) = 6$ 이때, ㉡에 대입하면 $27 - 54 + 3 b = 9$ $3 b = 36$ $b = 12$ 따라서, $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 12 x - 3$ 이므로 $f \left( 4 \right)$$= 4 ^{3} - 6 \times 4 ^{2} + 12 \times 4 - 3$$= 13$