확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

짝수 카드 기댓값 빈칸

문제

11부터 (2n−1)( 2 n - 1 )까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 (2n−1)( 2 n - 1 )장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 33장의 카드를 택할 때, 택한 33장의 카드 중 짝수가 적힌 카드의 개수를 확률변수 XX라 하자. 다음은 E(X)\mathrm{E} ( \mathit{X} )를 구하는 과정이다. (단, nn은 44 이상의 자연수이다.)

정수 k(0≤k≤3)k ( 0 \leq k \leq 3 )에 대하여 확률변수 XX의 값이 kk일 확률은 짝수가 적혀 있는 카드 중에서 kk장의 카드를 택하고, 홀수가 적혀 있는 카드 중에서 (□(가)−k)\left( {\square {( \text{가} ) _{} ^{{}^{}}}} - k \right)장의 카드를 택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로 P(X=0)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 0 )=n(n−2)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{n ( n - 2 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} P(X=1)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 1 )=3n(n−1)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{3 n ( n - 1 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} P(X=2)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 2 )=□(나)= {\square {( \text{나} ) _{} ^{} {}^{}}} P(X=3)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 3 )=(n−2)(n−3)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} 이다. 그러므로=∑k=03{k×P(X=k)}\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{3} \left\{ k \times \mathrm{P} ( \mathit{X} = k ) \right\} E(X)\mathrm{E} ( \mathit{X} )=□(다)2n−1\displaystyle \mathrm{=} \frac{{\square {( \text{다} ) _{} ^{} {}^{}}}}{\mathit{2} n - 1} 이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 aa라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, a×f(5)×g(8)a \times f ( 5 ) \times g ( 8 )의 값은? [4점] ①2222②452\displaystyle \frac{45}{2}③2323④472\displaystyle \frac{47}{2}⑤2424

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②

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해설

정수 k(0≤k≤3)k ( 0 \leq k \leq 3 )에 대하여 확률변수 XX의 값이 kk일 확률은 짝수 n−1n - 1개 중에서 kk장의 카드를 택하고, 홀수 nn개 중에서 (3−k)( 3 - k )장의 카드를 택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이므로 P(X=0)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 0 )=nC32n−1C3\displaystyle = \frac{{}_{n} {\mathrm{C}} _{3}}{{}_{2n-1} {\mathrm{C}} _{3}}=n(n−2)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{n ( n - 2 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} P(X=1)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 1 )=nC2×n−1C12n−1C3\displaystyle = \frac{{}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \times _{n-1} {\mathrm{C}} _{1}}{{}_{2 n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}=3n(n−1)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{3 n ( n - 1 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} P(X=2)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 2 )=nC1×n−1C22n−1C3\displaystyle = \frac{{}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times _{n - 1} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}{{}_{2 n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}=3n(n−2)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{3 n ( n - 2 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} P(X=3)\mathrm{P} ( \mathit{X} = 3 )=n−1C32n−1C3\displaystyle = \frac{\mathit{_{n - 1}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}{{}_{2 n - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}=(n−2)(n−3)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} 이다. 그러므로 E(X)\mathrm{E} ( \mathit{X} )=∑k=03{k×P(X=k)}\displaystyle = \sum\limits _{k = 0} ^{3} \left\{ k \times \mathrm{P} ( \mathit{X} = k ) \right\} =3n(n−1)+6n(n−2)+3(n−2)(n−3)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{3 n ( n - 1 ) + 6 n ( n - 2 ) + 3 ( n - 2 ) ( n - 3 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )} =3(n−1)2n−1\displaystyle = \frac{3 ( n - 1 )}{2 n - 1} 따라서 a=3a = 3, f(n)f ( n )=3n(n−2)2(2n−1)(2n−3)\displaystyle = \frac{3 n ( n - 2 )}{2 ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 )}, g(n)=3(n−1)g ( n ) = 3 ( n - 1 ) ∴\therefore af(5)g(8)=a f ( 5 ) g ( 8 ) =3×514×21=452\displaystyle 3 \times \frac{5}{14} \times 21 = \frac{45}{2}

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#기댓값#조합#빈칸 추론

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