대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수와 로그곡선의 교점

문제

상수 $a$ ( $a > 1$ )에 대하여 곡선 $y = a ^{x} - 1$ 과 곡선 $y = \log _{a} \left( x + 1 \right)$ 이 원점 $\mathrm{O}$ 를 포함한 서로 다른 두 점에서 만난다. 이 두 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 점 $\mathrm{P}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{OHP}$ 의 넓이가 $2$ 일 때, $a$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \sqrt{2}$ ② $\displaystyle \sqrt{3}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \sqrt{5}$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{6}$

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②

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해설

[출제의도] 지수함수를 이용하여 추론하기 곡선 $y = a ^{x} - 1$ 을 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동하면 곡선 $y = \log _{a} \left( x + 1 \right)$ 이고 $a > 1$ 이므로 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $y = x$ 위의 점이다. 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 $\left( k , k \right)$ 라 하면 점 $\mathrm{P}$ 는 곡선 $y = \log _{a} \left( x + 1 \right)$ 위의 점이므로 $k > \mathit{-} 1$ 삼각형 $\mathrm{OHP}$ 의 넓이가 $2$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OH}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}} \frac{= \mathit{k ^{2}}}{2} = 2$ 에서 $k ^{2} = 4$ , $k = 2$ 따라서 곡선 $y = a ^{x} - 1$ 이 점 $\mathrm{P} \left( 2 , 2 \right)$ 를 지나므로 $2 = a ^{2} - 1$ , $a ^{2} = 3$ 에서 $\displaystyle a = \sqrt{3}$

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