지수식 최댓값 원과 직선

[출제의도] 지수방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $2 ^{x} = X , 2 ^{y} = Y$라 하면 $X > 0 , Y > 0$ $4 ^{x} + 4 ^{y} = 2$이므로 $X ^{2} + Y ^{2} = 2$ $2 ^{x} + 2 ^{y + 1} = X + 2 Y$ $X + 2 Y = k$라 하면, 직선 $X + 2 Y - k = 0$과 사분원 $X ^{2} + Y ^{2} = 2$이 제 $1$사분면에서 접할 때, $k$가 최댓값을 갖는다. $\left( 0 , 0 \right)$에서 직선 $X + 2 Y - k = 0$까지의 거리가 $\displaystyle \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \frac{| - k |}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} \leq \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \left| k \right| \leq \sqrt{10}$이므로 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{10}$