지수로그곡선과 직선

곡선 $y = a ^{x} + b$와 $y$축이 만나는 점이 $\left( 0 , b + 1 \right)$이므로 직선 $l$의 방정식은 $y = b + 1$이다. 함수 $y = a ^{x} + b$의 역함수 $y = \log _{a} \left( x - b \right)$에 대하여 직선 ${\mathrm{AB}}$가 곡선 $y = \log _{a} \left( x - b \right)$와 만나는 점을 ${\mathrm{E}}$라 하자. 점 ${\mathrm{C}}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{CD}}} = 1 : 3 : 3$이므로 두 점 ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표는 각각 $2 k$, $\displaystyle \frac{7}{3} k$이다. 점 ${\mathrm{C}} \left( k , a ^{k} + b \right)$이고 역함수 성질에 의해 점 ${\mathrm{E}} \left( a ^{k} + b , k \right)$이다. 함수 $y = \log _{a} x + b$의 그래프는 함수 $y = \log _{a} \left( x - b \right)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- b$만큼 $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 그래프이므로 점 ${\mathrm{B}} \left( a ^{k} , b + k \right)$이다. 그러므로 $a ^{k} = 2 k$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. 두 점 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \frac{7}{3} k , b + 1 \right)$, ${\mathrm{B}} \left( 2 k , b + k \right)$를 지나는 직선의 기울기가 $- 1$이므로 $\displaystyle \frac{\left( b + k \right) - \left( b + 1 \right)}{2 k - \frac{7}{3} k} = - 1$ $\displaystyle \left( b + k \right) - \left( b + 1 \right) = \frac{7}{3} k - 2 k$ $\displaystyle k - 1 = \frac{k}{3}$ $\displaystyle k = \frac{3}{2}$이다. ㉠에서 $\displaystyle a ^{\frac{3}{2}} = 3$이고 $a ^{3} = 9$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \sqrt{2} k = \frac{3}{2} \sqrt{2}$이고 원점 ${\mathrm{O}}$에서 직선 ${\mathrm{AB}}$까지의 거리를 $d$라 하면 삼각형 ${\mathrm{OBC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{9}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \sqrt{2} \times d = \frac{9}{2}$ $\displaystyle d = 3 \sqrt{2}$이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OD}}} = 6$이고, 직선 ${\mathrm{AB}}$의 방정식은 $y = - x + 6$이다. 점 ${\mathrm{A}}$는 직선 $y = - x + 6$과 직선 $y = b + 1$이 만나는 점이고, 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{7}{3} k = \frac{7}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$이므로 $\displaystyle - \frac{7}{2} + 6 = b + 1$ $\displaystyle b = \frac{3}{2}$이다. 따라서 $20 \left( a ^{3} + b \right) = 210$이다.