지수로그 정삼각형

두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$ 중에서 $x$좌표가 작은 점을 ${\mathrm{A}}$라 하고, 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 ${\mathrm{A}} \left( a , 2 ^{a + 1} + k \right)$ ($a$는 실수)라 하자. 직선 ${\mathrm{AB}}$의 기울기가 $1$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$이므로 ${\mathrm{B}} \left( a + 2 , 2 ^{a + 1} + k + 2 \right)$ 점 ${\mathrm{B}}$가 곡선 $y = 2 ^{x + 1} + k$ 위의 점이므로 $2 ^{a + 1} + k + 2 = 2 ^{\left( a + 2 \right) + 1} + k$ $\left( 2 ^{3} - 2 \right) \times 2 ^{a} = 2$에서 $\displaystyle 2 ^{a} = \frac{1}{3}$, $a = - \log _{2} 3$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이제 선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하자. 점 ${\mathrm{M}}$의 좌표가 ${\mathrm{M}} \left( a + 1 , 2 ^{a + 1} + k + 1 \right)$이므로 점 ${\mathrm{M}}$은 곡선 $y = 2 ^{x} + k + 1$ 위의 점이다. 점 ${\mathrm{M}}$을 $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동시킨 점 ${\mathrm{M}}' \left( a + 1 , 2 ^{a + 1} + k \right)$는 곡선 $y = 2 ^{x} + k$ 위에 있고, 점 ${\mathrm{C}}$는 곡선 $y = \log _{2} \left( x - k \right) + 1$ 위에 있으므로 점 ${\mathrm{C}}$를 $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동시킨 점 ${\mathrm{C}}'$은 곡선 $y = \log _{2} \left( x - k \right)$ 위에 있다. 직선 ${\mathrm{CM}}$의 기울기가 $- 1$이므로 직선 ${\mathrm{C}}' {\mathrm{M}}'$의 기울기도 $- 1$이고, 두 곡선 $y = 2 ^{x} + k$, $y = \log _{2} \left( x - k \right)$가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 점 ${\mathrm{C}}'$은 점 ${\mathrm{M}}'$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동시킨 점이다. 점 ${\mathrm{C}}'$의 좌표는 ${\mathrm{C}}' \left( 2 ^{a + 1} + k , a + 1 \right)$이므로 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 ${\mathrm{C}} \left( 2 ^{a + 1} + k , a + 2 \right)$이다. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$가 한 변의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$인 정삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CM}}} = \sqrt{6}$이고, 직선 ${\mathrm{CM}}$의 기울기가 $- 1$이므로 점 ${\mathrm{C}}$의 $x$좌표와 점 ${\mathrm{M}}$의 $x$좌표의 차는 $\displaystyle \sqrt{3}$이다. $\displaystyle \left| \left( 2 ^{a + 1} + k \right) - \left( a + 1 \right) \right| = \sqrt{3}$ $\displaystyle k = - 2 ^{a + 1} + a + 1 + \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle k = - 2 ^{a + 1} + a + 1 - \sqrt{3}$ 그러므로 $S = - 2 \times 2 ^{a + 1} + 2 a + 2$ ㉠에 의하여 $S$$\displaystyle = - 2 \times \frac{2}{3} + 2 \times \left( - \log _{2} 3 \right) + 2$$\displaystyle = \frac{2}{3} - 2 \log _{2} 3$ 따라서 $\displaystyle 2 ^{- S + \frac{2}{3}} = 2 ^{2 \log _{2} 3} = 2 ^{\log _{2} 9} = 9$ [참고] $\displaystyle k = - 2 ^{a + 1} + a + 1 + \sqrt{3}$일 때의 네 점 ${\mathrm{M}}$, ${\mathrm{M}}'$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{C}}'$의 관계를 나타내면 그림과 같다.