지수로그 교점 보기

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 두 교점의 관계를 추론한다. $y = 2 ^{- x}$, $y = \left| \log _{2} x \right|$, $y = x$의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. $0 < x < 1$일 때, 두 곡선 $y = 2 ^{- x}$, $y = \mathit{-} \log _{2} x$의 교점은 직선 $y = x$　위에 있으므로 $x _{1} = y _{1}$이고 $x _{1} < 1$, $y _{1} < 1$ 그림에서 $y = 2 ^{- x}$은 감소함수이므로 $2 ^{- 1}$$< 2 ^{- x _{1}}$$= y _{1}$ 즉, $\displaystyle \frac{1}{2} < y _{1} = x _{1}$ 한편, $\displaystyle - \log _{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} < y _{1} = \mathit{-} \log _{2} x _{1}$이고 $y = \mathit{-} \log _{2} x$는 감소함수이므로 $\displaystyle x _{1} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \frac{1}{2} < x _{1} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ (참) ㄴ. $\displaystyle 2 ^{- \sqrt[3]{2}} = \frac{1}{2 ^{\sqrt[3]{2}}}$이고 $\displaystyle \log _{2} \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3}$ 그런데 $8 < 9$이므로 $\displaystyle 2 ^{\frac{3}{2}} < 3$ …… ㉠ $\displaystyle \sqrt[3]{2}$와 $\displaystyle \frac{3}{2}$을 각각 세제곱하면 $\displaystyle \left( \sqrt[3]{2} \right) ^{3} < \left( \frac{3}{2} \right) ^{3}$이므로 $\displaystyle \sqrt[3]{2} < \frac{3}{2}$ 즉, $\displaystyle 2 ^{\sqrt[3]{2}} < 2 ^{\frac{3}{2}}$…… ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 2 ^{\sqrt[3]{2}} < 2 ^{\frac{3}{2}} < 3$이므로 $\displaystyle \log _{2} \sqrt[3]{2} < 2 ^{- \sqrt[3]{2}}$ 그러므로 $\displaystyle \sqrt[3]{2} < x _{2}$ 또, $\displaystyle \log _{2} \sqrt{2} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle 2 ^{- \sqrt{2}} = \frac{1}{2 ^{\sqrt{2}}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} > \frac{1}{2 ^{\sqrt{2}}}$이므로 $\displaystyle \log _{2} \sqrt{2} > 2 ^{- \sqrt{2}}$ 그림에서 $\displaystyle x _{2} < \sqrt{2}$ 그러므로 $\displaystyle \sqrt[3]{2} < x _{2} < \sqrt{2}$ (참) ㄷ. $y _{1} = x _{1}$이므로 ㄱ에서 $\displaystyle \frac{1}{2} < y _{1} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ $y _{2} = \log _{2} x _{2}$이고 $\displaystyle \sqrt[3]{2} < x _{2} < \sqrt{2}$, $\displaystyle \log _{2} \sqrt[3]{2} < \log _{2} x _{2} < \log _{2} \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} < y _{2} < \frac{1}{2}$ 그러므로 $\displaystyle y _{1} - y _{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2} - 2}{6}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.