대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

$0 < a < 1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f ( x )$ 가 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} a ^{x} & ( x < 0 ) \\ \begin{matrix} - x + 1 \\ \log _{a} x \end{matrix} & \begin{matrix} ( 0 \leq x < 1 ) \\ ( x \geq 1 ) \end{matrix} \end{cases}}$ 일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>

ㄱ. $\left\{ f ( - 3 ) \right\} ^{5} = f ( - 15 )$ ㄴ. 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프와 직선 $y = a$ 는 한 점에서 만난다. ㄷ. 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프는 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. $\left\{ f ( - 3 ) \right\} ^{5} = ( a ^{-3} ) ^{5} = a ^{-15} = f ( - 15 )$ ∴ 참 ㄴ. 함수 $f ( x )$ 는 일대일 대응이므로 $y = f ( x )$ 의 그래프와 직선 $y = a$ 는 한 점에서 만난다. ∴ 참 ㄷ. $y = a ^{x} ( x < 0 )$ , $y = \log _{a} x ( x \geq 1 )$ 는 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이고 $y = - x + 1 ( 0 \leq x < 1 )$ 도 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다. ∴ 참 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

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