지수로그 곡선과 원

$f \left( x \right) = 2 ^{x - m} + n$, $g \left( x \right) = \log _{2} \left( x - n + 1 \right) + m - 7$이라 하자. 점 ${\mathrm{A}} \left( a , b \right)$는 제$1$사분면 위의 점이므로 $0 < a < b$ 점 ${\mathrm{B}}$는 점 ${\mathrm{A}}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점이므로 ${\mathrm{B}} \left( b , a \right)$이고, 곡선 $y = \log _{2} \left( x - n \right) + m$ 위의 점이다. 곡선 $y = g \left( x \right)$는 곡선 $y = \log _{2} \left( x - n \right) + m$을 $x$축의 방향으로 $- 1$만큼, $y$축의 방향으로 $- 7$만큼 평행이동한 곡선과 일치한다. 점 ${\mathrm{B}}$를 $x$축의 방향으로 $- 1$만큼, $y$축의 방향으로 $- 7$만큼 평행이동한 점을 ${\mathrm{B}}' \left( b - 1 , a - 7 \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{B}}'$은 곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점이다. 점 ${\mathrm{B}}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle 5 \sqrt{2}$인 원을 $C$라 하자. $\displaystyle {\overline{{\mathrm{BB}}'}} = 5 \sqrt{2}$이므로 점 ${\mathrm{B}}'$은 원 $C$ 위의 점이다. 원 $C$와 곡선 $y = g \left( x \right)$가 만나는 두 점을 ${\mathrm{C}} \left( x _{1} , y _{1} \right)$, ${\mathrm{D}} \left( x _{2} , y _{2} \right)$라 하면 $x _{1} < x _{2}$이고 함수 $g \left( x \right)$는 $x > n - 1$인 실수 전체의 집합에서 증가하므로 $y _{1} < y _{2}$ 점 ${\mathrm{B}}'$은 원 $C$와 곡선 $y = g \left( x \right)$ 위의 점이므로 점 ${\mathrm{B}}'$은 점 ${\mathrm{C}}$와 일치하거나 점 ${\mathrm{D}}$와 일치한다. 점 ${\mathrm{B}}'$이 점 ${\mathrm{D}}$와 일치하는 경우 $x _{1} < b - 1$, $y _{1} < a - 7$ $b - x _{1} > 1$, $a - y _{1} > 7$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \sqrt{\left( b - x _{1} \right) ^{2} + \left( a - y _{1} \right) ^{2}} > 5 \sqrt{2}$이므로 점 ${\mathrm{C}}$가 원 $C$ 위의 점이라는 조건에 모순이다. 그러므로 점 ${\mathrm{B}}'$은 점 ${\mathrm{C}}$와 일치한다. 조건 (가)에 의하여 직선 ${\mathrm{AC}}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a - 7 - b}{b - 1 - a} = - 3$ $a - 7 - b = - 3 \left( b - 1 - a \right)$ $a - b = - 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 지나는 직선의 방정식은 $y = - x + a + b$이므로 두 점 ${\mathrm{O}}$, ${\mathrm{C}}$와 직선 $x + y - a - b = 0$ 사이의 거리를 각각 $h _{1}$, $h _{2}$라 하면 $\displaystyle h _{1} = \frac{\left| - a - b \right|}{\sqrt{2}} = \frac{\left( a + b \right) \sqrt{2}}{2}$ $h _{2}$$\displaystyle = \frac{\left| \left( b - 1 \right) + \left( a - 7 \right) - a - b \right|}{\sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$ 삼각형 ${\mathrm{AOB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times h _{1}$이고 삼각형 ${\mathrm{ACB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times h _{2}$이므로 삼각형 ${\mathrm{AOB}}$와 삼각형 ${\mathrm{ACB}}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times h _{1} : \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times h _{2} = 27 : 8$ $8 h _{1} = 27 h _{2}$ $\displaystyle 8 \times \frac{\left( a + b \right) \sqrt{2}}{2} = 27 \times 4 \sqrt{2}$ $a + b = 27$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $a = 11$, $b = 16$ 점 ${\mathrm{A}} \left( 11 , 16 \right)$은 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점이므로 $2 ^{11 - m} + n = 16$ 위 식을 만족시키는 두 자연수 $m$, $n$의 모든 순서쌍 $\left( m , n \right)$은 $\left( 8 , 8 \right)$, $\left( 9 , 12 \right)$, $\left( 10 , 14 \right)$, $\left( 11 , 15 \right)$이다. 따라서 $m + n$의 최댓값은 $11 + 15 = 26$