지수로그 곡선과 직선

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기 직선 $y = \mathit{-} x + 5$의 기울기가 $- 1$이고 곡선 $y = \log _{a} x$를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 것이 곡선 $y = \log _{a} \left( x - 1 \right) - 1$이므로 점 $\mathrm{\mathrm{B}}$를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 점이 $\mathrm{C}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{2}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$이다. 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 $\mathrm{A} \mathit{\left( t , 5 - t \right)}$이고 두 함수 $y = a ^{x}$, $y = \log _{a} x$는 역함수 관계이므로 $\mathrm{B} \mathit{\left( 5 - t , t \right)}$이다. 그런데 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표의 차는 $2$이고 $( 5 - t ) - t = 2$, 즉 $\displaystyle t = \frac{3}{2}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{3}{2} , \frac{7}{2} \right)}$이 곡선 $y = a ^{x}$ 위의 점이므로 $\displaystyle a ^{\frac{3}{2}} = \frac{7}{2}$, 즉 $\displaystyle a ^{3} = \frac{49}{4}$이다. 따라서 $4 a ^{3} = 49$