지수로그 그래프 대칭

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P} \left( \mathit{t} , a ^{t} \right)$($t < 0$)이라 하면 점 $\mathrm{P}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동시킨 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( \mathit{a} ^{t} , t \right)$이다. $\mathrm{\angle} PQR = 45 ^\circ$이고 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기가 $- 1$이므로 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 같다. 즉 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\left( \mathit{a} ^{t} , - t \right)$이다. 직선 $\mathrm{PR}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1}{7}$이므로 $\displaystyle \frac{a ^{t} + t}{t - a ^{t}} = \frac{\mathit{1}}{7}$에서 $\displaystyle a ^{t} = \mathit{-} \frac{3}{4} t$ …… ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$이므로 $\displaystyle \sqrt{\left( t - a ^{t} \right) ^{2} + \left( a ^{t} + t \right) ^{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle a ^{2 t} + t ^{2} = \frac{25}{4}$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $t ^{2} = 4$이고 $t < 0$이므로 $t = \mathit{-} 2$ ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{1}{a ^{2}} = \frac{3}{2}$이고 $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{6}}{3}$