미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수함수와 역함수 잇기

문제

지수함수 f(x)=axf ( x ) = a ^{x}(0<a<1)( 0 < a < 1 )의 그래프가 직선 y=xy = x와 만나는 점의 xx좌표를 bb라 하자. 함수 g(x)={f(x)(x≤b)f−1(x)(x>b)\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f ( x ) _{} & & {} _{} ( x \leq b ) \\ f ^{- 1} ( x ) ^{} & & {} ^{} ( x > b ) \end{cases}} 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, aba b의 값은? [4점] ①e−e−1e ^{-e-1}②e−e−1e\displaystyle e ^{- e - \frac{1}{e}}③e−e+1e\displaystyle e ^{- e + \frac{1}{e}}④ee−1e ^{e - 1}⑤ee+1e ^{e + 1}

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①

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해설

f(x)=ax,f′(x)=ax⋅ln⁡af ( x ) = a ^{x} , f' ( x ) = a ^{x} \cdot \ln a 이고 (b,b)( b , b )에서 g(x)g ( x )가 미분가능하려면 f(b)=ab=b⋯①f ( b ) = a ^{b} = b \cdots \text{①} $f' ( b ) = a ^{b} \cdot \ln a = - 1 \cdots \text{ ②}$ 를 만족하여야 한다. ①의 양변에 ln⁡\ln을 취하면 $b \ln a = \ln b \cdots \text{ ③}$ ①을 ②에 대입하면 $b \ln a = - 1 \cdots \text{ ④}$ ③, ④에서 ln⁡b=−1\ln b = - 1 ∴b=e−1,a=e−e\therefore b = e ^{- 1} , a = e ^{- e} ∴ab=e−e−1\therefore ab = e ^{- e - 1}

태그

#역함수#미분가능성#지수함수

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