지수함수와 로그함수 역함수

점 $\mathrm{A}$의 좌표를 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( p , 3 p + 2 \right)}$라 하면 점 $\mathrm{B}$는 선분 $\mathrm{DA}$를 $2 : 1$로 외분하는 점이므로 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 ${\mathrm{B}} \mathit{\left( 2 p , 6 p + 2 \right)}$이다. 함수 $y = a ^{x} + k$의 그래프와 함수 $y = \log _{a} \left( x - k \right)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이고, 곡선 $y = a ^{x} + k$ 위의 점 $\mathrm{B}$와 곡선 $y = \log _{a} \left( x - k \right)$ 위의 점 $\mathrm{C}$를 지나는 직선이 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{B}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동시킨 점이다. 그러므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( 6 p + 2 , 2 p \right)}$이다. 삼각형 $\mathrm{CBD}$는 이등변삼각형이므로 두 직선 ${\mathrm{BD}}$, ${\mathrm{AC}}$는 서로 수직이다. 직선 $\mathrm{BD}$의 기울기가 $\mathrm{3}$이므로 직선 $\mathrm{AC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{2 p - \left( 3 p + 2 \right)}{\left( 6 p + 2 \right) - p} = \frac{- p - 2}{5 p + 2} = - \frac{1}{3}$에서 $p = 2$ 그러므로 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 2 , 8 \right)}$, ${\mathrm{B}} \mathit{\left( 4 , 14 \right)}$ 점 $\mathrm{A}$가 곡선 $y = a ^{x} + k$ 위의 점이므로 $a ^{2} + k = 8$ 점 $\mathrm{B}$가 곡선 $y = a ^{x} + k$ 위의 점이므로 $a ^{4} + k = 14$ 두 식을 연립하면 $a ^{4} - a ^{2} - 6 = 0$, $\displaystyle \left( a ^{2} + 2 \right) \left( a + \sqrt{3} \right) \left( a - \sqrt{3} \right) = 0$ $a > 1$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{3}$, $k = 5$ 따라서 $\displaystyle a \times k = 5 \sqrt{3}$