대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수와 직선 교점

문제

곡선 y=2⋅3xy = 2 \cdot 3 ^{x}과 기울기가 11인 직선이 두 점 A,B\mathrm{A} , B에서 만난다. 두 점 A,B\mathrm{A} , B의 xx좌표는 각각 a,b(a<b)a , b ( a < b )이고 선분 AB\mathrm{AB}의 길이가 2\displaystyle \sqrt{2}일 때, 3a+3b3 ^{a} + 3 ^{b}의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 지수함수를 이용하여 문제해결하기 곡선 y=2⋅3xy = 2 \cdot 3 ^{x}과 기울기 11인 직선이 만나는 두 점 A(a,2⋅3a),B(b,2⋅3b)\mathrm{A} \mathit{(} a , 2 \cdot 3 ^{a} ) , \mathrm{B} ( \mathit{b} , 2 \cdot 3 ^{b} )라 하면 2(3b−3a)b−a=1,b−a=2(3b−3a)\displaystyle \frac{2 ( {3} ^{b} - {3} ^{a} )}{b - a} = 1 , b - a = 2 ( {3} ^{b} - {3} ^{a} )이다. AB‾=(b−a)2+4(3b−3a)2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{\sqrt{( b - a ) ^{2} + 4 ( 3 ^{b} - 3 ^{a} ) ^{2}}} =(b−a)2+(b−a)2\displaystyle = \sqrt{( b - a ) ^{2} + ( b - a ) ^{2}}=(b−a)2=2\displaystyle = ( b - a ) \sqrt{2} = \sqrt{2}에서 b−a=1b - a = 1이므로 b=a+1b = a + 1 따라서, 기울기는 2(3b−3a)b−a=1,2(3b−3a)=1\displaystyle \frac{2 ( 3 ^{b} - 3 ^{a} )}{b - a} = 1 , 2 ( 3 ^{b} - 3 ^{a} ) = 1 2(3a+1−3a)=4⋅3a=1,3a=14,3b=34\displaystyle 2 ( 3 ^{a+1} - 3 ^{a} ) = 4 \cdot 3 ^{a} = 1 , 3 ^{a} = \frac{1}{4} , 3 ^{b} = \frac{3}{4} ∴3a+3b=1\therefore 3 ^{a} + 3 ^{b} = 1

태그

#지수함수#두 점 사이의 거리

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