지수함수와 직선 교점

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 직선 $y = x$ 위에 있으므로 ${\mathrm{A}} ( p , p )$, ${\mathrm{B}} ( q , q )$ ($p < q$)로 놓으면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \sqrt{( q - p ) ^{2} + ( q - p ) ^{2}} = 6 \sqrt{2}$ $q - p = 6$ ⋯ ㉠ 또, 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이가 $30$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{CD}} \times ( \overline{\mathrm{AC}} + \overline{\mathrm{DB}} ) = 30$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( q - p ) \times ( p + q ) = 30$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times ( p + q ) = 30$ $p + q = 10$ ⋯ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하면 $p = 2$, $q = 8$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 곡선 $y = 2 ^{ax+b}$ 위에 있으므로 $2 ^{2a+b} = 2$ ⋯ ㉢ $2 ^{8a+b} = 8$ ⋯ ㉣ ㉣을 ㉢으로 변끼리 나누면 $2 ^{6a} = 4$, $2 ^{6a} = 2 ^{2}$, $6 a = 2$, $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ 이 값을 ㉢에 대입하면 $\displaystyle 2 ^{\frac{2}{3} + b} = 2$, $\displaystyle \frac{2}{3} + b = 1$, $\displaystyle b = \frac{1}{3}$ 따라서 $\displaystyle a + b = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$