지수함수와 접하는 원

[출제의도] 지수함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

$y = a ^{x}$ $\displaystyle y = \left( \sqrt[10]{3} \right) ^{x}$

점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표가 $3$이므로 $x$좌표는 $10$ $\mathrm{A} ( 10 , 3 )$ 점 $\mathrm{A}$에서 $x$축에 내린 수선의 발 $\mathrm{B} ( 10 , 0 )$ 점 $\mathrm{P}$는 $y = a ^{x}$과 $y = 3$의 교점이므로 $\mathrm{P} ( \log _{a} 3 , 3 )$ 삼각형 $\mathrm{BAP}$는 $\angle \mathrm{A} = 90 ^\circ$인 직각삼각형이고 선분 $\mathrm{BP}$는 원의 지름이다. 직선 $\mathrm{OP}$와 직선 $\mathrm{BP}$는 수직이므로 기울기의 곱은 $- 1$이다. $\displaystyle \frac{3}{\log _{a} 3} \times \frac{3}{\log _{a} 3 - 10} = - 1$ $\left( \log _{a} 3 \right) ^{2} - 10 \log _{a} 3 + 9 = 0$ $\log _{a} 3 = 1$또는 $\log _{a} 3 = 9$ $a = 3$또는 $\displaystyle a = 3 ^{\frac{1}{9}}$ $\therefore$모든 실수 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle 3 ^{\frac{10}{9}}$