대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수와 등비수열

문제

함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 지수함수 y=axy = a ^{x}의 그래프를 xx축의 방향으로 bb만큼 평행이동시킨 것이다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 22, 공비가 33인 등비수열이고, 모든 자연수 nn에 대하여 점 (n,an)( n , a _{n} )은 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프 위의 점일 때, 두 상수 a,ba , b의 합 a+ba + b의 값은? [3점] ①−log⁡32- \log _{3} 2②1−log⁡321 - \log _{3} 2③2−log⁡322 - \log _{3} 2④3−log⁡323 - \log _{3} 2⑤4−log⁡324 - \log _{3} 2

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⑤

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해설

지수함수 y=axy = a ^{x}의 그래프를 xx축의 방향으로 bb만큼 평행이동시킨 함수식은 y=ax−by = a ^{x - b} ⋯\cdots⋯\cdots㉠\text{㉠} 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 22, 공비가 33인 등비수열이므로 an=2×3n−1a _{n} = 2 \times 3 ^{n - 1} (n,an)\left( n , a _{n} \right)점이 ㉠\text{㉠}식 위의 점이므로 함수식을 만족한다. 즉, an−b=2×3n−1a ^{n - b} = 2 \times 3 ^{n - 1}이 성립한다. 이때 a=3a = 3이어야 한다. ⋯⋯\cdots \cdots㉡\text{㉡} (참고ATTATT) 대입하면, 3n−b=2×3n−13 ^{n - b} = 2 \times 3 ^{n - 1}에서 좌우변에 3n−13 ^{n - 1}을 나누면 3−b+1=23 ^{- b + 1} = 2 이 성립하고 로그의 정의에 의해서 −b+1=log⁡32- b + 1 = \log _{3} 2 ∴\therefore b=1−log⁡32b = 1 - \log _{3} 2 ⋯⋯\cdots \cdots㉢\text{㉢} ㉡,㉢\text{㉡} , \text{㉢}에서 a+b=4−log⁡32a + b = 4 - \log _{3} 2

태그

#지수함수#등비수열

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