대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 역함수 점근선

문제

양수 $k$ 에 대하여 함수 $f \left( x \right) = 3 ^{x - 1} + k$ 의 역함수의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $k ^{2}$ 만큼 평행이동시킨 곡선을 $y = g \left( x \right)$ 라 하자. 두 곡선 $y = f \left( x \right)$ , $y = g \left( x \right)$ 의 점근선의 교점이 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x$ 위에 있을 때, $k$ 의 값은? [3점] ① $1$ ② $\displaystyle \frac{3}{2}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ⑤ $3$

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③

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프 이해하기 $f ^{- 1} \left( x \right) = \log _{3} \left( x - k \right) + 1$ 이므로 $g \left( x \right) = \log _{3} \left( x - k ^{2} - k \right) + 1$ 이다. 곡선 $y = f \left( x \right)$ 의 점근선은 $y = k$ 이고 곡선 $y = g \left( x \right)$ 의 점근선은 $x = k ^{2} + k$ 이다. 두 점근선의 교점의 좌표는 $\left( k ^{2} + k , k \right)$ 이고 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x$ 위에 있으므로 $\displaystyle k = \frac{1}{3} \left( k ^{2} + k \right)$ 따라서 $k > 0$ 이므로 $k = 2$

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