대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 위의 점과 거리

문제

함수 y=2x−2\displaystyle y = 2 ^{x} - \sqrt{2}의 그래프 위의 점 P\mathrm{P}를 지나고 기울기가 −1- 1인 직선이 xx축과 만나는 점을 QQ라 하자. 자연수 nn에 대하여 PQ‾=n\displaystyle {\mathrm{\overline{PQ}}} = n일 때, 점 P\mathrm{P}의 xx좌표를 ana _{n}이라 하자. ∑n=16an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n}의 정수 부분은? (단, 점 P\mathrm{P}는 제1사분면에 있다.) [4점] ①10②11③12④13⑤14

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②

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해설

위 그래프에서 2an−2=n2\displaystyle 2 ^{a _{n}} - \sqrt{2} = \frac{n}{\sqrt{2}} 2×2an=n+2\displaystyle \sqrt{2} \times 2 ^{a _{n}} = n + 2 an=log⁡2(n+2)−12\displaystyle a _{n} = \log _{2} ( n + 2 ) - \frac{1}{2} ∑n=16an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n}=log⁡2(3×4×⋯×8)−3= \log _{2} ( 3 \times 4 \times \cdots \times 8 ) - 3 =log⁡2(26×315)−3=3+log⁡2315= \log _{2} ( 2 ^{6} \times 315 ) - 3 = 3 + \log _{2} 315 여기서 28<315<292 ^{8} < 315 < 2 ^{9}이므로 log⁡2315=8.⋯\log _{2} 315 = 8. \cdots 따라서 ∑n=16an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{6} a _{n}의 정수부분은 11이다.

태그

#지수함수#수열의 합

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