대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 위 두 점의 중점

문제

함수 $y = 2 ^{x}$ 의 그래프 위에 두 점 $\mathrm{A} , B$ 가 있다. 두 점 $\mathrm{A} , B$ 의 $x$ 좌표를 각각 $a$ , $b$ $( a < b )$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 의 중점의 좌표가 $( 0 , 5 )$ 일 때, $2 ^{2 a} + 2 ^{2 b}$ 의 값은? [3점]

① $94$ ② $96$ ③ $98$ ④ $100$ ⑤ $102$

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③

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[출제의도] 지수함수 이해하기 $\mathrm{A}$ $( a , 2 ^{a} )$ , $\mathrm{B}$ $( b , 2 ^{b} )$ 라 하면 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = 0$ 에서 $a + b = 0$ 이므로 $2 ^{a} \cdot 2 ^{b} = 1$ 이다. $\displaystyle \frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} = 5$ 이므로 $2 ^{a} + 2 ^{b} = 10$ $2 ^{2 a} + 2 ^{2 b} =$ $\left( 2 ^{a} + 2 ^{b} \right) ^{2} - 2 \cdot 2 ^{a} \cdot 2 ^{b}$ $= 100 - 2 = 98$

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