지수함수 선분 길이

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 주어진 선분의 길이를 구한다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표가 $a$이므로 $\mathrm{A}$$\left( a , 3 ^{a} \right)$, $\mathrm{B}$$\displaystyle \left( a , \left( \frac{1}{3} \right) ^{a} \right)$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 $y$좌표가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \frac{3 ^{a} + 3 ^{- a}}{2} = \sqrt{5}$ $\displaystyle 3 ^{a} + 3 ^{- a} = 2 \sqrt{5}$ 양변에 $3 ^{a}$를 곱하여 정리하면 $\displaystyle 3 ^{2 a} - 2 \sqrt{5} \times 3 ^{a} + 1 = 0$ 이를 풀면 $\displaystyle 3 ^{a} = \sqrt{5} - 2$ 또는 $\displaystyle 3 ^{a} = \sqrt{5} + 2$ $a > 0$이므로 $3 ^{a} > 1$ $\displaystyle 3 ^{a} = \sqrt{5} + 2$에서 $\displaystyle 3 ^{- a} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \sqrt{5} - 2$ 따라서 선분 $\mathrm{AB}$의 길이 $l$은 $\displaystyle l = \left( \sqrt{5} + 2 \right) - \left( \sqrt{5} - 2 \right) = 4$ ∴ $l ^{2} = 16$ [다른풀이] $3 ^{a} = s$, $\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{a} = t$라 하면 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $s - t$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 $y$좌표가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \frac{s + t}{2} = \sqrt{5}$, $\displaystyle s + t = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle s t = 3 ^{a} \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{a} = 1$ $\therefore$$l ^{2} = ( s - t ) ^{2} = ( s + t ) ^{2} - 4 st$$\displaystyle = \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2} - 4 \times 1$$= 16$