대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 함수 $y = 8 ^{x}$ 의 그래프가 두 직선 $y = a$ , $y = b$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 함수 $y = 4 ^{x}$ 의 그래프가 두 직선 $y = a$ , $y = b$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 에서 직선 $y = a$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$ , 점 $\mathrm{C}$ 에서 직선 $y = b$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{A} EB$ 의 넓이가 $20$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{C} DF$ 의 넓이는? (단, $a > b > 1$ 이다.) [3점]

① $26$ ② $28$ ③ $30$ ④ $32$ ⑤ $34$

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③

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해설

$\displaystyle \triangle \mathrm{A} EB = \frac{1}{2} ( a - b ) ( \log _{8} a - \log _{8} b )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( a - b ) \cdot \frac{1}{3} \log _{2} ab$ $\displaystyle \triangle \mathrm{C} DF = \frac{1}{2} ( a - b ) ( \log _{4} a - \log _{4} b )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( a - b ) \cdot \frac{1}{2} \log _{2} ab$ $\displaystyle \therefore \triangle \mathrm{C} DF = \frac{3}{2} \triangle \mathrm{A} EB = 30$

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