미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 사이 넓이

문제

[13 ∼ 14] 좌표평면에 두 함수 ${f ( x ) = 2 ^{x}}$ 의 그래프와 $\displaystyle {g ( x ) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}}$ 의 그래프가 있다. 두 곡선 $y = f ( x )$ , $y = g ( x )$ 가 직선 ${x = t}$ ${( t > 0 )}$ 과 만나는 점을 각각 $A$ , $B$ 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

$t = 1$ 일 때, 두 곡선 $y = f ( x )$ , $y = g ( x )$ 와 직선 $\mathrm{A} B$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ① $\displaystyle \frac{5}{4 \ln 2}$ ② $\displaystyle \frac{1}{\ln 2}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{4 \ln 2}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{2 \ln 2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{4 \ln 2}$

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④

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다. 두 곡선 $y = f ( x )$ , $y = g ( x )$ 와 직선 $\mathrm{AB}$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left\{ 2 ^{x} - \left( \frac{1}{2} \right) ^{x} \right\} dx}$ $$ $\displaystyle = \left[ \frac{2 ^{x}}{\ln 2} - \frac{\left( \frac{1}{2} \right) ^{x}}{\ln \left( \frac{1}{2} \right)} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \left\{ \frac{2}{\ln 2} - \frac{\frac{1}{2}}{\ln \left( \frac{1}{2} \right)} \right\} - \left\{ \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln \left( \frac{1}{2} \right)} \right\}$ $\displaystyle = \frac{5}{2 \ln 2} - \frac{2}{\ln 2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2 \ln 2}$

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