지수함수 사이 직선

$f ( x ) = e ^{x-2}$라 하면 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 함수 $y = e ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것이다. 또, $g ( x ) = - e ^{-x+1}$이라 하면 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = e ^{x}$의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 것이다.

한편, 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( t , f ( t ) )$에서의 접선의 방정식은 $f' ( x ) = e ^{x-2}$이므로 $y = e ^{t-2} ( x - t ) + e ^{t-2}$ $y = e ^{t-2} x + ( 1 - t ) e ^{t-2}$ ⋯ ㉠ 또, 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $( s , g ( s ) )$에서의 접선의 방정식은 $g' ( x ) = e ^{-x+1}$이므로 $y = e ^{-s+1} ( x - s ) - e ^{-s+1}$ $y = e ^{-s+1} x + ( - s - 1 ) e ^{-s+1}$ ⋯ ㉡ ㉠과 ㉡에서 접선의 기울기가 같으면 $e ^{t-2} = e ^{-s+1}$, $t - 2 = - s + 1$ $s = - t + 3$ ⋯ ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 $y = e ^{t-2} x + ( t - 4 ) e ^{t-2}$ ⋯ ㉣ 이때, ㉠과 ㉣에서 $x = t$일 때 $a = e ^{t-2}$ $( t - 4 ) e ^{t-2} \leq b \leq ( 1 - t ) e ^{t-2}$ 그러므로 $( t - 4 ) e ^{2t-4} \leq b \leq ( 1 - t ) e ^{2t-4}$ ⋯ ㉤ 한편, 두 접선이 일치하면 $( 1 - t ) e ^{t-2} = ( - s - 1 ) e ^{-s+1}$ ㉢을 대입하면 $( 1 - t ) e ^{t-2} = ( t - 4 ) e ^{t-2}$, $1 - t = t - 4$, $2 t = 5$ $\displaystyle t = \frac{5}{2}$

그러므로 $\displaystyle t \leq \frac{5}{2}$ ⋯ ㉥ ㉤에서 $h ( t ) = ( 1 - t ) e ^{2t-4}$이라 하면 $h' ( t ) = - e ^{2t-4} + ( 2 - 2 t ) e ^{2t-4}$$= ( 1 - 2 t ) e ^{2t-4}$ 이므로 $h' ( t ) = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{1}{2}$ 또, $k ( t ) = ( t - 4 ) e ^{2t-4}$이라 하면 $k' ( t ) = e ^{2t-4} + ( 2 t - 8 ) e ^{2t-4}$$= ( 2 t - 7 ) e ^{2t-4}$ 이므로 $k' ( t ) = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{7}{2}$ 이때, $\displaystyle h \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} e ^{-3}$, $\displaystyle k \left( \frac{5}{2} \right) = - \frac{3}{2} e$이므로 $\displaystyle t \leq \frac{5}{2}$에서 두 함수 $y = h ( t )$, $y = k ( t )$의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle t = \frac{5}{2}$에서 최솟값 $\displaystyle - \frac{3}{2} e$, $\displaystyle t = \frac{1}{2}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{1}{2} e ^{-3}$을 가진다. 따라서 $\displaystyle | M \times m ^{3} | = \left| \frac{1}{2} e ^{-3} \times \left( - \frac{3}{2} e \right) ^{3} \right|$$\displaystyle = \frac{27}{16}$ 이므로 $p + q = 16 + 27 = 43$