지수함수 사이 거리 최소

[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\mathrm{P} \mathit{(} a , 2 ^{- a + 3} + 4 ) , \mathrm{Q} \mathit{(} a , - 2 ^{a - 5} - 3 )$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 7 + 2 ^{- a + 3} + 2 ^{a - 5}$이다. $2 ^{- a + 3} > 0$, $2 ^{a - 5} > 0$ 이므로 산술․기하평균의 관계에 의해 $\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{PQ}} & = 7 + 2 ^{- a + 3} + 2 ^{a - 5} \end{aligned}$$\displaystyle \geq 7 + 2 \sqrt{2 ^{- a + 3} 2 ^{a - 5}}$ $\displaystyle = 7 + 2 \sqrt{2 ^{- 2}} = 8$ (등호는 $a = 4$일 때 성립) 따라서 선분 $\mathrm{PQ}$ 길이의 최솟값은 $8$이다. 선분 $\mathrm{PQ}$를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle 4 \sqrt{2}$ 이다. $\therefore$ 정사각형 넓이의 최솟값은 $32$