미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 사다리꼴 급수

문제

그림과 같이 모든 자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 함수 y=(12)x\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}의 그래프와 만나는 점을 An{\mathrm{A}} _{n}, xx축과 만나는 점을 Bn{\mathrm{B}} _{n}이라 하자. 사각형 AnBnBn+1An+1{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{B}} _{n+1} {\mathrm{A}} _{n+1}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

y=(12)x\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}

①34\displaystyle \frac{3}{4}②11③54\displaystyle \frac{5}{4}④32\displaystyle \frac{3}{2}⑤2\displaystyle \sqrt{2}

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①

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해설

Sn=12⋅BnBn+1‾(AnBn‾+An+1Bn+1‾)=12⋅1⋅{(12)n+(12)n+1}\displaystyle \begin{aligned} S _{n} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{\overline{B _{n} B _{n+1}}} \left( \overline{A _{n} B _{n}} + \overline{A _{n+1} B _{n+1}} \right) \\ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} \right\} \end{aligned} ∴∑n=1∞Sn=12(121−12+141−12)=34\displaystyle \therefore \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{2} \left( \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}

태그

#등비급수#지수함수#넓이

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