미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 평행이동 y절편 급수

문제

함수 y=3xy = 3 ^{x}의 그래프를 xx축의 방향으로 평행이동시켜 점 (k,2)( k , 2 ) (kk는 자연수)를 지나도록 하는 곡선의 yy절편을 aka _{k}라 하자. 이때 ∑k=1∞ak\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{\infty} a _{k}의 값은?

[4점] ①23\displaystyle \frac{2}{3}②11③43\displaystyle \frac{4}{3}④32\displaystyle \frac{3}{2}⑤22

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 지수함수의 그래프와 관련된 내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 곡선 y=3xy = 3 ^{x}을 xx축의 방향으로 bkb _{k}만큼 평행이동시킨 곡선 y=3x−bky = 3 ^{x-b_{k}}이 점 (k,2)( k , 2 )를 지난다고 하면 2=3k−bk2 = 3 ^{k-b_{k}}이다. ∴ 3−bk=23k\displaystyle 3 ^{-b_{k}} = \frac{2}{3 ^{k}} 이때 곡선 y=3x−bky = 3 ^{x-b_{k}}의 yy절편은 3−bk3 ^{-b_{k}}이므로 ak=3−bk=23k\displaystyle a _{k} = 3 ^{-b_{k}} = \frac{2}{3 ^{k}}이다. ∴ ∑k=1∞ak=∑k=1∞23k=2∑k=1∞(13)k\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{\infty} a _{k} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{\infty} \frac{2}{3 ^{k}} = 2 \sum\limits _{{k} = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right) ^{k} =231−13=1\displaystyle = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 1

태그

#지수함수#평행이동#무한등비급수

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로