대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

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문제

함수 $y = f ( x )$ 의 그래프는 함수 $y = 3 ^{x}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $- 1$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $- 2$ 만큼 평행이동한 것이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] ㄱ. $y = f ( x )$ 의 그래프가 점 $( a , b )$ 를 지나면 $a = \log _{3} ( b + 2 ) - 1$ 이다. ㄴ. 두 함수 $y = f ( x )$ 와 $y = 3 ^{x}$ 의 그래프는 한 점에서 만난다. ㄷ. 부등식 $f ( x ) < 3 ^{x}$ 를 만족시키는 $x$ 의 값의 범위는 $x < 0$ 이다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

$f ( x ) = 3 ^{x+1} - 2$ ㄱ. $b = 3 ^{a+1} - 2$ 이므로 $b + 2 = 3 ^{a+1} , a + 1 = \log _{3} ( b + 2 )$ 이므로 $\therefore a = \log _{3} ( b + 2 ) - 1$ ㄴ. $3 ^{x} = t > 0$ 라 두면 $t = 3 t - 2 , t = 1$ 이므로 $x = 0$ 에서 한번 만난다. cf) $y = 3 ^{x}$ 과 $y = f ( x )$ 의 그래프를 그려 확인할 수도 있다. ㄷ. $3 ^{x} = t > 0$ 라 두면 $3 t - 2 < t$ 의 부등식의 해를 푸는것과 같다. $t < 1$ 이므로 $3 ^{x} < 1 = 3 ^{0}$ 이므로 $x < 0$ 이다.

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