지수함수 넓이 비

[출제의도] 지수함수를 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle y = \frac{1}{3} \times 2 ^{x} = 2 ^{\log _{2} \frac{1}{3}} \times 2 ^{x} = 2 ^{x - \log _{2} 3}$이므로 $\displaystyle y = \frac{1}{3} \times 2 ^{x}$의 그래프는 $y = 2 ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\log _{2} 3$만큼 평행이동한 것이다. 그러므로 사각형 $\mathrm{ACDB}$는 평행사변형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \log _{2} 3$이다. $S _{1} = 4 \times \log _{2} 3 = 4 \log _{2} 3$ $\mathrm{B} ( \mathit{b} , 8 )$이라 하면 $\displaystyle 8 = \frac{1}{3} \times 2 ^{b}$이므로 $\mathrm{B} \left( \log _{2} 24 , 8 \right)$ 그러므로 $\mathrm{E} \left( \log _{2} 24 , 4 \right)$ $\mathrm{D} ( \mathit{d} , 4 )$라 하면 $\displaystyle 4 = \frac{1}{3} \times 2 ^{d}$이므로 $\mathrm{D} \left( \log _{2} 12 , 4 \right)$ $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{DE}} \times 4 = \frac{1}{2} \times \left( \log _{2} 24 - \log _{2} 12 \right) \times 4 = 2$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{4 \log _{2} 3}{2} = 2 \log _{2} 3$