미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 넓이 비

문제

곡선 y=2xy = 2 ^{x}과 xx축 및 두 직선 x=−1,x=0x = - 1 , x = 0으로 둘러싸인 영역을 AA, 곡선 y=2xy = 2 ^{x}과 xx축 및 두 직선 x=0x = 0, x=px = p로 둘러싸인 영역을 BB라 하자. BB의 넓이가 AA의 넓이의 4배가 되도록 하는 양수 pp의 값은? [3점] ①1②log⁡23\log _{2} 3③2④log⁡25\log _{2} 5⑤1+log⁡231 + \log _{2} 3

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②

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해설

[출제의도] 정적분의 활용을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 영역 AA의 넓이를 S1S _{1}, 영역 BB의 넓이를 S2S _{2}라 하자. S1=∫−102xdx=[2xln⁡2]−10=12ln⁡2\displaystyle S _{1} = \int _{- 1} ^{0} {} 2 ^{x} dx = \left[ \frac{2 ^{x}}{\ln 2} \right] _{- 1} ^{0} = \frac{1}{2 \ln 2} S2=∫0p2xdx=[2xln⁡2]0p=2p−1ln⁡2\displaystyle S _{2} = \int _{0} ^{p} {} 2 ^{x} dx = \left[ \frac{2 ^{x}}{\ln 2} \right] _{0} ^{p} = \frac{2 ^{p} - 1}{\ln 2} 그런데 S2=4S1S _{2} = 4 S _{1} 이므로 2p−1ln⁡2=4×12ln⁡2\displaystyle \frac{2 ^{p} - 1}{\ln 2} = 4 \times \frac{1}{2 \ln 2} 따라서 2p=32 ^{p} = 3이므로 p=log⁡23p = \log _{2} 3

태그

#넓이#지수함수

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