지수함수 중점

두 곡선 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$가 점 $\mathrm{P}$에서 만나므로 $2 ^{x} + 1 = 2 ^{x+1}$에서 $2 ^{x} = 1$ $x = 0$이므로 교점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathrm{P} ( 0 , 2 )$ 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 중점이 $\mathrm{P}$이므로 점 ${\mathrm{A}} ( a , 2 ^{a} + 1 )$, ${\mathrm{B}} ( b , 2 ^{b+1} )$에서 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = 0$, $\displaystyle \frac{2 ^{a} + 1 + 2 ^{b+1}}{2} = 2$ $\displaystyle \frac{2 ^{a} + 1 + 2 ^{-a+1}}{2} = 2$ $4 ^{a} - 3 \times 2 ^{a} + 2 = 0$ $( 2 ^{a} - 1 ) ( 2 ^{a} - 2 ) = 0$ $2 ^{a} = 1$ 또는 $2 ^{a} = 2$ $a = 0$ 또는 $a = 1$ $a = 0$이면 $b = 0$이므로 모순이다. 그러므로 $a = 1$, $b = - 1$ $\mathrm{A} ( 1 , 3 )$, $\mathrm{B} ( - 1 , 1 )$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{2}$