대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 직사각형 넓이

문제

함수 y=3xy = 3 ^{x}의 그래프 위의 점 P(α,3α)\mathrm{P} ( \mathit{\alpha} , 3 ^{\alpha} )과 함수 y=−3−xy = - 3 ^{- x}의 그래프 위의 점 Q(β,−3−β)\mathrm{Q} ( \mathit{\beta} , - 3 ^{- \beta} )에 대하여 β−α=4\beta - \alpha = 4가 성립한다. 그림과 같이 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 지나고 xx축, yy축과 평행한 직선을 그려 만들어지는 직사각형의 넓이의 최솟값은? [4점]

①29\displaystyle \frac{2}{9}②229\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{9}③49\displaystyle {\frac{4}{9}}④429\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}}{9}⑤89\displaystyle \frac{8}{9}

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⑤

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해설

[출제의도] 지수함수에서 넓이의 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다. 직사각형의 가로의 길이는 β−α=4\beta - \alpha = 4이고, 세로의 길이는 3α−(−3−β)3 ^{\alpha} - ( - 3 ^{- \beta} )이므로 직사각형의 넓이를 SS라 하면 S=S =(β−α)\left( \beta - \alpha \right)(3α+3−β)\left( 3 ^{\alpha} + 3 ^{- \beta} \right)=4(3α+3−α−4)= 4 \left( 3 ^{\alpha} + 3 ^{- \alpha - 4} \right) ≥4×23α⋅3−α−4\displaystyle \geq 4 \times 2 \sqrt{3 ^{\alpha} \cdot 3 ^{- \alpha - 4}}=89\displaystyle = \frac{8}{9} (단, 등호는 α=−2\alpha = - 2, β=2\beta = 2일 때 성립) 따라서 직사각형의 넓이의 최솟값은 89\displaystyle \frac{8}{9}이다.

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#지수함수#산술기하평균

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