대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 함수방정식

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=2ax+bf ( x ) = 2 ^{ax+b}이 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 상수이다.) [3점]

(가) f(52)=22\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) = 2 \sqrt{2} (나) 임의의 실수 x,yx , y에 대하여 f(x+y)=2f(x)f(y)f ( x + y ) = 2 f ( x ) f ( y )이다.

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해설

[출제의도] 지수함수의 값 구하기 (가)에서 f(52)=252a+b=22=232\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) = 2 ^{\frac{5}{2} a + b} = 2 \sqrt{2} = 2 ^{\frac{3}{2}} ∴52a+b=32\displaystyle \therefore \frac{5}{2} a + b = \frac{3}{2} (나)에서 f(x+y)=2f(x)f(y)f ( x + y ) = 2 f ( x ) f ( y )에 x=y=0x = y = 0을 대입하면 f(0)=2f(0)f(0)f ( 0 ) = 2 f ( 0 ) f ( 0 )이고 f(0)>0f ( 0 ) > 0이므로 f(0)=2b=12\displaystyle f ( 0 ) = 2 ^{b} = \frac{1}{2}이다. ∴b=−1\therefore b = - 1 따라서 a=1,b=−1a = 1 , b = - 1이다.

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