지수함수 교점 수열

$y = 2 ^{x + n}$의 그래프와 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$의 그래프가 만나는 점이 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathit{\left( a _{n} , b _{n} \right)}$이므로 $\displaystyle 2 ^{x + n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ $2 ^{x + n} = 2 ^{- x}$ $x + n = - x$ $\therefore$ $\displaystyle x = - \frac{n}{2}$ 그러므로 $\displaystyle a _{n} = - \frac{n}{2}$, $\displaystyle b _{n} = 2 ^{\frac{n}{2}}$ ㄱ. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항은 $\displaystyle a _{n} = - \frac{n}{2}$이므로 첫째항이 $\displaystyle - \frac{1}{2}$, 공차가 $\displaystyle - \frac{1}{2}$인 등차수열이다. <참> ㄴ. $\displaystyle b _{m} b _{n} = 2 ^{\frac{m}{2}} \cdot 2 ^{\frac{n}{2}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{m}{2} + \frac{n}{2}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{m + n}{2}}$$= b _{m + n}$ <참> ㄷ. 부등식 $2 b _{n} < b _{n + 1}$을 풀면 $\displaystyle 2 \cdot 2 ^{\frac{n}{2}} < 2 ^{\frac{n + 1}{2}}$ $\displaystyle 2 ^{1 + \frac{n}{2}} < 2 ^{\frac{n + 1}{2}}$ 밑이 1보다 크므로 $\displaystyle 1 + \frac{n}{2} < \frac{n + 1}{2}$ 이 때, $\displaystyle 1 + \frac{n}{2} < \frac{n}{2} + \frac{1}{2}$이므로 부등식을 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. <거짓>