지수함수 곱 적분 조건

[출제의도] 치환적분법을 이용하여 문제를 해결한다. $f \left( x \right) = kx ^{2} + px + q$($p$, $q$는 상수)라 하면 $f \left( 0 \right) = f \left( - 2 \right)$이므로 $q = 4 k - 2 p + q$, $p = 2 k$ $f \left( 0 \right) \ne 0$이므로 $q \ne 0$ 따라서 $f \left( x \right) = kx ^{2} + 2 kx + q$($k > 0$, $q \ne 0$) 조건 (가)에서 $\left( x + 1 \right) \left\{ g \left( x \right) - mx - m \right\} \leq 0$ $x \geq - 1$일 때, $g \left( x \right) \leq mx + m$ $x < - 1$일 때, $g \left( x \right) \geq mx + m$ 이고, $g \left( x \right)$는 연속함수이므로 $g \left( - 1 \right) = 0$ $\left( - a + b \right) e ^{f \left( - 1 \right)} = 0$에서 $b = a$ $g \left( x \right) = \left( ax + a \right) e ^{kx ^{2} + 2 kx + q}$에서 $g' \left( x \right)$$= a \left\{ 1 + 2 k \left( x + 1 \right) ^{2} \right\} e ^{kx ^{2} + 2 kx + q}$ $g'' \left( x \right)$$= 2 ak ( x + 1 ) \left\{ 3 + 2 k \left( x + 1 \right) ^{2} \right\} e ^{kx ^{2} + 2 kx + q}$ $a < 0$, $k > 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $g' \left( x \right) < 0$이고, $x < - 1$이면 $g'' \left( x \right) > 0$, $x > \mathit{-} 1$이면 $g'' \left( x \right) < 0$이다. 조건 (가)에서 $m$의 최솟값이 $- 2$이므로 $g' ( - 1 ) = \mathit{-} 2$ $ae ^{- k + q} = \mathit{-} 2$ …… ㉠ 조건 (나)의 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g \left( x \right) dx = \frac{e - e ^{4}}{k}$에서 $kx ^{2} + 2 kx + q = t$라 하면 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{q} ^{3 k + q} {} \frac{a}{2 k} e ^{t} dt$$\displaystyle = \left[ \frac{a}{2 k} e ^{t} \right] _{q} ^{3 k + q}$$\displaystyle = \frac{a}{2 k} \left( e ^{3 k + q} - e ^{q} \right)$ ㉠을 대입하면 $\displaystyle \frac{- 2 e ^{k}}{2 k} \left( e ^{3 k} - 1 \right) = \frac{e - e ^{4}}{k}$, $- e ^{4 k} + e ^{k} = e - e ^{4}$ $e ^{4 k} - e ^{4} - e ^{k} + e = 0$ $\left( e ^{k} - e \right) \left\{ \left( e ^{2 k} + e ^{2} \right) \left( e ^{k} + e \right) - 1 \right\} = 0$ $\left( e ^{2 k} + e ^{2} \right) \left( e ^{k} + e \right) - 1 > 0$이므로 $e ^{k} - e = 0$, 즉 $k = 1$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{- 2 f \left( 0 \right)} ^{1} {} g \left( x \right) dx - \int _{0} ^{1} {} g \left( x \right) dx = \int _{- 2 f \left( 0 \right)} ^{0} {} g \left( x \right) dx = 0$ $k = 1$이므로 $x ^{2} + 2 x + q = t$라 하면 $\displaystyle \int _{- 2 f \left( 0 \right)} ^{0} {} g \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{4 q ^{2} - 3 q} ^{q} {} \frac{a}{2} e ^{t} dt$$\displaystyle = \left[ \frac{a}{2} e ^{t} \right] _{4 q ^{2} - 3 q} ^{q}$ $\displaystyle = \frac{a}{2} \left( e ^{q} - e ^{4 q ^{2} - 3 q} \right) = 0$ $a \ne 0$에서 $q = 4 q ^{2} - 3 q$이고 $q \ne 0$이므로 $q = 1$ ㉠에 대입하면 $ae ^{- 1 + 1} = \mathit{-} 2$, $a = \mathit{-} 2$ 따라서 $a = \mathit{-} 2$, $b = \mathit{-} 2$, $f \left( x \right) = \mathit{x} ^{2} + 2 x + 1$이므로 $f \left( ab \right) = f \left( 4 \right) = 16 + 8 + 1 = 25$