지수함수 두 교점 보기

$x = \log _{3} z$ 라고 하면 $f ( x ) = 9 ^{x} + a = 9 ^{\log _{3} z} + a = z ^{2} + a \equiv p ( z )$ $g ( x ) = b \cdot 3 ^{x} + 2 = b \cdot 3 ^{\log _{3} z} + 2 = b z + 2 \equiv q ( z )$ 문제의 조건에서 $f ( x ) = g ( x )$ 의 근은 $x = \log _{3} 2$, $x = \log _{3} k$ ($k > 2$)이므로 $p ( z ) = q ( z )$의 근은 $z = 2$, $z = k$ ($k > 2$)이다. $p ( z ) = q ( z )$ $\leftrightarrow$ $z ^{2} + a = b z + 2$ $\leftrightarrow$ $z ^{2} - b z + a - 2 = 0$ -----① $z$에 대한 이차 방정식은 서로 다른 두 실근 $2$, $k$ ($k > 2$)을 가지므로 (판별식)$=$$( - b ) ^{2} - 4 \cdot ( a - 2 ) > 0$ $\leftrightarrow$ $b ^{2} > 4 a - 8$ : (ㄱ)은 거짓 $z = 2$는 방정식의 근이므로 $4 - 2 b + a - 2 = 0$ $\leftrightarrow$ $a = 2 b - 2$ : (ㄴ)은 참 (두 근의 곱)$= 2 k = a - 2$ > $4$ ($\because k > 2$) $\leftrightarrow$ $a > 6$ : (ㄷ)은 참