지수함수 두 곡선 거리

직선 $x = t$가 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$와 만나는 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$ 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{1}{5}$이 되도록 하는 실수 $t$의 값을 $a$, $b \left( a \neq b \right)$라 하자. $h \left( x \right) = g \left( x \right) - f \left( x \right)$라 하면 $a$, $b$는 방정식 $\displaystyle \left| h \left( x \right) \right| = \frac{1}{5}$의 근이다. $h \left( x \right)$$\displaystyle = 2 \times 4 ^{x} - 2 ^{x} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{k}$ $\displaystyle = 2 \times \left( 2 ^{x} - \frac{1}{4} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{k} - \frac{1}{8} > - \frac{1}{5}$ 이므로 $a$, $b$는 방정식 $\displaystyle h \left( x \right) = \frac{1}{5}$의 근이다. $\displaystyle 2 \times 4 ^{x} - 2 ^{x} + \frac{1}{2 ^{k}} - \frac{1}{5} = 0$에서 $2 ^{x} = X \left( X > 0 \right)$이라 하면 $2 ^{a}$, $2 ^{b}$은 $X$에 대한 이차방정식 $\displaystyle 2 X ^{2} - X + \frac{1}{2 ^{k}} - \frac{1}{5} = 0$ 의 근이다. 이차방정식 $\displaystyle 2 X ^{2} - X + \frac{1}{2 ^{k}} - \frac{1}{5} = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle D = 1 - 4 \times 2 \times \left( \frac{1}{2 ^{k}} - \frac{1}{5} \right) = \frac{13}{5} - \frac{8}{2 ^{k}} > 0$ $\displaystyle \frac{8}{2 ^{k}} < \frac{13}{5}$ $\displaystyle \frac{40}{13} < 2 ^{k}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편, $X > 0$이므로 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 두 근의 곱은 $\displaystyle 2 ^{a} \times 2 ^{b} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 ^{k}} - \frac{1}{5} \right) > 0$, $\displaystyle \frac{1}{2 ^{k}} > \frac{1}{5}$ $2 ^{k} < 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 구하는 자연수 $k$의 값은 $2$이다. $2 ^{p}$$= 2 ^{a + b} = 2 ^{a} \times 2 ^{b}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 ^{k}} - \frac{1}{5} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{40}$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{p} = \frac{1}{2 ^{p}} = 40$ 따라서 $\displaystyle k \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{p} = 2 \times 40 = 80$