지수함수 대칭 빈칸

[출제의도] 지수방정식을 이용하여 그래프의 성질을 추론한다. 점 $( 2 a - p , a - q )$가 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점이므로 $f ( p ) = q$, $f ( 2 a - p ) = a - q$에서 $\displaystyle \frac{3 ^{2 a - p}}{3 ^{2 a - p} + 3} = a - q$$\displaystyle = a - {\square {\frac{3 ^{p}}{3 ^{p} + 3}}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이다. ㉠은 실수 $p$의 값에 관계없이 항상 성립하므로 $p = 0$일 때, $\displaystyle \frac{3 ^{2 a}}{3 ^{2 a} + 3} = a - \frac{1}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이고, $p = 1$일 때, $\displaystyle \frac{3 ^{2 a}}{3 ^{2 a} + {\square {9}}} = a - \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 이다. ㉡, ㉢에서 ㉡$-$㉢을 정리하면 $\displaystyle \frac{6 \times 3 ^{2 a}}{( 3 ^{2 a} + 3 ) ( 3 ^{2 a} + 9 )} = \frac{1}{4}$에서 $\left( 3 ^{2 a} + 3 \right) \left( 3 ^{2 a} + 9 \right) = 24 \times 3 ^{2 a}$ 이므로 $3 ^{2 a} = X$($X > 0$)이라 하면 $( X + 3 ) ( X + 9 ) = 24 X$ $X ^{2} - 12 X + 27 = 0$ $X = 3$ 또는 $X = 9$ $3 ^{2 a} = 3$ 또는 $3 ^{2 a} = 9$ $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 또는 $a = \square {1}$ 이다. 이때, ㉢에서 좌변이 양수이므로 $\displaystyle a > \frac{1}{2}$이다. 따라서 $a = 1$이다. 그러므로 $g ( p )$$\displaystyle = \frac{3 ^{p}}{3 ^{p} + 3}$, $m = 9$, $n = 1$ 따라서 $\displaystyle ( m - n ) \times g \left( 2 \right) = ( 9 - 1 ) \times \frac{3 ^{2}}{3 ^{2} + 3}$$= 6$