대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 최솟값

문제

함수 f(x)=(2x−2+2−x)2−(2x+22−x)+8f ( x ) = ( 2 ^{x - 2} + 2 ^{- x} ) ^{2} - ( 2 ^{x} + 2 ^{2 - x} ) + 8의 최솟값은? [3점] ①−8- 8②−4- 4③00④44⑤88

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④

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해설

[출제의도] 지수함수의 최솟값 구하기 t=2x−2+2−xt = 2 ^{x - 2} + 2 ^{- x}라 하면 t=2x−2+2−x≥22x−22−x=1\displaystyle t = 2 ^{x - 2} + 2 ^{- x} \geq 2 \sqrt{2 ^{x-2} 2 ^{-x}} = 1이고, 2x+22−x=4(2x−2+2−x)=4t2 ^{x} + 2 ^{2 - x} = 4 \left( 2 ^{x - 2} + 2 ^{- x} \right) = 4 t이므로 f(t)=t2−4t+8=(t−2)2+4f ( t ) = t ^{2} - 4 t + 8 = ( t - 2 ) ^{2} + 4 (단, t≥1t \geq 1) 그러므로 최솟값은 44이다.

태그

#치환#산술평균과 기하평균

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