지수함수 최댓값 조건

[출제의도] 닫힌 구간에서 지수함수의 최댓값을 구한다. $\displaystyle f ( x ) = \left( \frac{3}{a} \right) ^{x}$에서 (ⅰ) $\displaystyle \frac{3}{a} > 1$, 즉 $0 < a < 3$일 때, 함수 $f ( x )$는 증가함수이므로 $x = 2$에서 최댓값을 갖는다. $\displaystyle f ( 2 ) = \left( \frac{3}{a} \right) ^{2} = 4$에서 $\displaystyle a ^{2} = \frac{9}{4}$ $\displaystyle a = \pm \frac{3}{2}$ $0 < a < 3$이므로 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{3}{a} = 1$, 즉 $a = 3$일 때, $f ( x ) = 1$이므로 함수 $f ( x )$의 최댓값이 $4$가 아니다. (ⅲ) $\displaystyle 0 < \frac{3}{a} < 1$, 즉 $a > 3$일 때, 함수 $f ( x )$는 감소함수이므로 $x = \mathit{-} 1$에서 최댓값을 갖는다. $f ( - 1 )$$\displaystyle = \left( \frac{3}{a} \right) ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{a}{3}$$= 4$ 에서 $a = 12$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 모든 양수 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle \frac{3}{2} \times 12 = 18$