대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 치환과 최대최소

문제

a>1a > 1인 실수 aa에 대하여 함수 f(x)=a2x+4ax−2f ( x ) = a ^{2 x} + 4 a ^{x} - 2가 구간 [−1,1][ - 1 , 1 ]에서 최댓값 10을 갖는다. 구간 [−1,1][ - 1 , 1 ]에서 함수 f(x)f ( x )의 최솟값은? [4점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②−14\displaystyle - \frac{1}{4}③12\displaystyle \frac{1}{2}④−12\displaystyle - \frac{1}{2}⑤1

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①

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해설

ax=ta ^{x} = t라 하면 1a≤t≤a\displaystyle \frac{1}{a} \leq t \leq a이고 f(x)=t2+4t−2=(t+2)2−6f ( x ) = t ^{2} + 4 t - 2 = ( t + 2 ) ^{2} - 6 t=at = a일 때 최댓값 a2+4a−2=10a ^{2} + 4 a - 2 = 10이므로 a=2a = 2 최솟값은 t=1a=12\displaystyle t = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}일 때 14+2−2=14\displaystyle \frac{1}{4} + 2 - 2 = \frac{1}{4}

태그

#지수함수#치환

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