지수함수 차 절댓값

$f ( x ) - g ( x )$$= a ^{2x} - a ^{x+1} + 2$ 따라서 $a ^{x} = t$라 하면 $f ( x ) - g ( x )$$= t ^{2} - at + 2$ 이차방정식 $t ^{2} - at + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = a ^{2} - 8 = 0$에서 $\displaystyle a = 2 \sqrt{2}$ (∵ $a > 1$) $y = t ^{2} - at + 2$는 대칭축이 $\displaystyle t = \frac{a}{2}$이고 $y$절편이 $2$인 이차함수이므로 $a$의 크기에 따라서 $y = | t ^{2} - at + 2 |$의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

이때, $t = a ^{x}$는 모든 실수에서 임의의 양수로의 일대일대응이고 $x _{1} < x _{2}$에 대하여 $t _{1} < t _{2}$를 만족한다. ⋯⋯ ㉠ ㄱ. $\displaystyle a = 2 \sqrt{2}$일 때, $y = | t ^{2} - at + 2 |$의 그래프는 $x$축과 한 점에서 만나므로 (접하므로) $y = h ( x )$의 그래프도 $x$축과 한 점에서 만난다. (∵ ㉠) (참) ㄴ. $a = 4$일 때, $t ^{2} - 4 t + 2 = 0$에서 $\displaystyle t = 2 \pm \sqrt{2}$이므로 $y = | t ^{2} - at + 2 |$의 그래프는 $\displaystyle 0 < t < 2 - \sqrt{2}$에서 감소하고 $\displaystyle 2 - \sqrt{2} < t < 2$에서 감소한다. ⋯⋯ ㉡ $\displaystyle x < \frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle 0 < t < 4 ^{\frac{1}{2}} = 2$이므로 ㉠, ㉡에 의해서 $h ( x _{1} )$, $h ( x _{2} )$의 대소를 비교할 수 없다. ㄷ. $y = t ^{2} - at + 2$의 그래프가 직선 $y = 1$과 접할 때, $y = h ( x )$의 그래프와 직선 $y = 1$이 오직 한 점에서 만나게 된다. $t ^{2} - at + 2 = 1$에서 $t ^{2} - at + 1 = 0$ 위의 방정식은 $a = 2$일 때 중근을 가지므로 $a = 2$일 때, $y = h ( x )$의 그래프와 직선 $y = 1$이 오직 한 점에서 만나게 된다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.