지수함수 분수식 최대값

$\displaystyle \frac{1}{y}$이 최소이면 $\displaystyle y = \frac{3 ^{x+3}}{3 ^{2x} + 3 ^{x} + 1}$이 최대이다. $\displaystyle \frac{1}{y} = \frac{3 ^{2x} + 3 ^{x} + 1}{3 ^{x+3}} = \frac{1}{27} \left( 3 ^{x} + \frac{1}{3 ^{x}} \right) + \frac{1}{27}$이고 $3 ^{x} > 0$, $\displaystyle \frac{1}{3 ^{x}} > 0$이므로 산술기하평균에 의해 $\displaystyle \frac{1}{y} \geq \frac{1}{9}$($x = 0$일 때 등호성립)이므로 $y$의 최대값은 $9$이다.