지수곡선과 넓이 같음

[출제의도] 지수함수가 포함된 방정식 문제 해결하기 두 직선 $y = k$, $y = 2 k$와 곡선 $y = 2 ^{x + 1}$이 만나는 점을 각각 구하면 $2 ^{x + 1} = k$에서 $x = \log _{2} k - 1$이고 $2 ^{x + 1} = 2 k$에서 $x = \log _{2} k$이므로 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{F}$의 좌표는 각각 $\mathrm{\left( \log _{2} k - 1 , k \right)}$, $\mathrm{\left( \log _{2} k , 2 k \right)}$이다. 두 곡선 $y = 2 ^{x + 1}$과 $y = 2 ^{- x + 1}$은 $y$축에 대하여 대칭이므로 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{G}$의 좌표는 각각 $\mathrm{\left( 1 - \log _{2} k , k \right)}$, $\mathrm{\left( - \log _{2} k , 2 k \right)}$이다. 삼각형 $\mathrm{CFG}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left\{ \log _{2} k - \left( - \log _{2} k \right) \right\} \times \left( 2 k - 2 \right) = 2 \left( k - 1 \right) \log _{2} k$ 이고 사각형 $\mathrm{ABED}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left[ \left\{ 1 - \log _{2} k - \left( \log _{2} k - 1 \right) \right\} + 2 \right] \times \left( k - 1 \right)$$= \left( 2 - \log _{2} k \right) \left( k - 1 \right)$ 이다. $1 < k < 2$이고 삼각형 $\mathrm{CFG}$의 넓이와 사각형 $\mathrm{ABED}$의 넓이가 같으므로 $2 \left( k - 1 \right) \log _{2} k$$= \left( 2 - \log _{2} k \right) \left( k - 1 \right)$ $\therefore$$2 \log _{2} k = 2 - \log _{2} k$ $\therefore$$\displaystyle \log _{2} k = \frac{2}{3}$ $\therefore$$\displaystyle k = 2 ^{\frac{2}{3}}$