지수곡선 선분 조건

자연수 $n$에 대하여 직선 $x = n$이 곡선 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - k - 2}$과 만나는 점이 ${\mathrm{A}}$이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - k - 2} = 2 ^{k + 2 - n}$이고, 직선 $x = n$이 곡선 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - k} - 2$와 만나는 점이 ${\mathrm{B}}$이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - k} - 2 = 2 ^{k - n} - 2$이다. 선분 ${\mathrm{AB}}$가 직선 $y = k$와 만나기 위해서는 자연수 $k$에 대하여 자연수 $n$이 부등식 $2 ^{k - n} - 2 \leq k \leq 2 ^{k + 2 - n}$ $k - n \leq \log _{2} \left( k + 2 \right)$이고 $\log _{2} k \leq k + 2 - n$ $k - \log _{2} \left( k + 2 \right) \leq n \leq k + 2 - \log _{2} k$ 를 만족시켜야 한다. $f \left( k \right)$는 선분 ${\mathrm{AB}}$가 직선 $y = k$와 만나도록 하는 자연수 $n$의 최댓값과 최솟값의 합이다. (ⅰ) $k = 1$이면 $1 \leq n \leq 3$이므로 $f \left( 1 \right) = 1 + 3 = 4$ (ⅱ) $k = 2$이면 $1 \leq n \leq 3$이므로 $f \left( 2 \right) = 1 + 3 = 4$ (ⅲ) $k = 3$이면 $1 \leq n \leq 3$이므로 $f \left( 3 \right) = 1 + 3 = 4$ (ⅳ) $k = 4$이면 $2 \leq n \leq 4$이므로 $f \left( 4 \right) = 2 + 4 = 6$ (ⅴ) $k = 5$이면 $3 \leq n \leq 4$이므로 $f \left( 5 \right) = 3 + 4 = 7$ (ⅵ) $6 \leq k \leq 8$이면 $k - 3 \leq n \leq \left( k + 2 \right) - 3$이므로 $f \left( k \right) = 2 k - 4$이다. $2 k - 4 = 15$를 만족시키는 자연수 $k$는 존재하지 않는다. (ⅶ) $9 \leq k \leq 13$이면 $k - 3 \leq n \leq \left( k + 2 \right) - 4$이므로 $f \left( k \right) = 2 k - 5$이다. $2 k - 5 = 15$를 만족시키는 자연수 $k$는 $10$이다. 따라서 조건을 만족시키는 자연수 $k$의 값은 $10$이다. [참고] (ⅰ) $m \geq 3$인 자연수 $m$에 대하여 $2 ^{m} - 2 \leq k \leq 2 ^{m}$이면 $k - m \leq n \leq \left( k + 2 \right) - m$이므로 $f \left( k \right) = 2 k - 2 m + 2$ (ⅱ) $m \geq 3$인 자연수 $m$에 대하여 $2 ^{m} + 1 \leq k \leq 2 ^{m + 1} - 3$이면 $k - m \leq n \leq \left( k + 2 \right) - \left( m + 1 \right)$이므로 $f \left( k \right) = 2 k - 2 m + 1$ ※ 자연수 $k$에 대하여 부등식 $k - \log _{2} \left( k + 2 \right) \leq n \leq k + 2 - \log _{2} k$ 를 만족시키는 자연수 $n$의 값을 찾아 표로 정리하면 다음과 같다.