대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수곡선 사다리꼴 넓이

문제

그림과 같이 $3$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 두 곡선 $y = n ^{x}$ , $y = 2 ^{x}$ 이 직선 $x = 1$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 두 곡선 $y = n ^{x}$ , $y = 2 ^{x}$ 이 직선 $x = 2$ 와 만나는 점을 각각 ${\mathrm{C}}$ , ${\mathrm{D}}$ 라 하자. 사다리꼴 ${\mathrm{ABDC}}$ 의 넓이가 $18$ 이하가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다. ${\mathrm{\mathrm{A}}} ( 1 , n )$ , ${\mathrm{\mathrm{B}}} ( 1 , 2 )$ , ${\mathrm{\mathrm{C}}} ( 2 , n ^{2} )$ , ${\mathrm{\mathrm{D}}} ( 2 , 4 )$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = n - 2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = n ^{2} - 4$ 사다리꼴 ${\mathrm{ABDC}}$ 의 넓이는 $18$ 이하이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( n - 2 + n ^{2} - 4 ) \times 1$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( n ^{2} + n - 6 ) \leq 18$ , $- 7 \leq n \leq 6$ 그러므로 $3$ 이상의 자연수 $n$ 의 값은 $3$ , $4$ , $5$ , $6$ 따라서 조건을 만족시키는 $n$ 의 값의 합은 $18$

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